史密斯圓圖的一種球面表示法（三）
Z>0 的半球表面含有所有具有正電阻的阻抗，Z<0含有所有具有負(fù)電阻的阻抗。類似地，y>0 的半球含有感抗阻抗，y<0 的半球含有容抗阻抗。只有在球面上的點(diǎn)才有意義；在球體內(nèi)的點(diǎn)則無(wú)關(guān)緊要。
現(xiàn)在球形的史密斯圓圖已經(jīng)建成了，正如2-D 史密斯圓圖一樣，我們可以考慮不同阻抗的表示方式。
首先，電阻為常數(shù)和感抗為常數(shù)的線可以先畫(huà)出來(lái)。這些線形成了一系列封閉的圓周，起始和中止于點(diǎn)（1，0，0）。例如，+50，+50j，-50，-50j 這些常數(shù)電阻和感抗線都從點(diǎn)AEFJ（北極）開(kāi)始，再回到起點(diǎn)前，跨經(jīng)點(diǎn)D，H，B 和G（在赤道上）。畫(huà)出其它值的電阻和電抗線使其類似于2-D 史密斯圓圖。見(jiàn)圖8。圖8（a）是從南極（z=0）看過(guò)去的球形史密斯圖，而圖8（b）是從北極（z=∞）看過(guò)去的史密斯球。
圖8、畫(huà)有常數(shù)電阻和感抗的球形史密斯圓圖 （a）從南極看過(guò)去的球體（b）從北極看過(guò)去的球體
我們還可以考慮將常數(shù)Q（品質(zhì)因數(shù)）的線畫(huà)在標(biāo)準(zhǔn)史密斯圓圖上。這會(huì)形成阻抗從零到無(wú)窮大的一系列弧線。當(dāng)Q=0 時(shí)（理想的電阻），弧線便成為一條從零到無(wú)窮大的直線，當(dāng)Q 為無(wú)窮大時(shí)（一個(gè)理想的電感或電容），弧線是沿著史密斯圖的圓周線的。在球形的史密斯圓圖上，Q 為常數(shù)的線便形成了從北極Z=無(wú)窮大到南極Z=0 的弧線。見(jiàn)圖9。在x-y 平面上的Q 等值的圓周上具有一個(gè)零值，同時(shí)在x-y 平面上的具有一個(gè)Q 為無(wú)窮大的Q 等值圓周。使用球形史密斯圓圖，當(dāng)電阻為負(fù)的時(shí)候，也可以很容易地使用Q 線。圖9 中增加了緯線。這些緯線是由|Z|為常數(shù)時(shí)所形成的。赤道線代表的是|Z|=50Ω。
圖9、繪有常數(shù)Q（實(shí)線）和常數(shù)|Z|（虛線）的球形史密斯圓圖
在球體中將Q 看作經(jīng)線，而將|Z|看作緯線相當(dāng)于用極坐標(biāo)而不是用迪卡爾坐標(biāo)來(lái)表示史密斯圓圖，其中mag(Z) （幅值）= Sqrt(R2+X2) ，phase(Z) （相位）=arctan(X/R) = arctan(Q)。
當(dāng)用到反射系數(shù)時(shí)，史密斯圓圖也同樣很有用。反射系數(shù)ρ 在史密斯圓圖上的表示通常是針不同常數(shù)的|ρ|的值來(lái)繪出對(duì)應(yīng)的曲線。這便會(huì)形成一系列的同心圓，圓心在傳輸線的特性阻抗點(diǎn)處（ 我們這里用的是50Ω）。這些同心圓在史密斯圓圖的中心點(diǎn)處從半徑為零開(kāi)始，逐漸增加直至反射系數(shù)為1 時(shí)到達(dá)史密斯圓圖的圓周為止。具有|ρ|>1 的反射系數(shù)也可以在圖上表示出來(lái)。這種情況說(shuō)明反射波大于入射波。這便為反射增益，當(dāng)存在負(fù)電阻時(shí)會(huì)出現(xiàn)這種情況。在球形史密斯圖上可以很靈巧地處理這種情況。圖10 顯示出了球形史密斯圖上|ρ|為常數(shù)時(shí)的曲線和ρ 的相位為常數(shù)時(shí)的曲線。緯線代表的是|ρ|為常數(shù)時(shí)的曲線，經(jīng)線代表的是當(dāng)ρ 的相位為常數(shù)時(shí)的曲線。北極點(diǎn)處于50Ω，反射系數(shù)為0（匹配完美的傳輸線），南極是-50Ω，反射系數(shù)為無(wú)窮大。赤道對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)|ρ|=1。當(dāng)考慮反射系數(shù)時(shí)，北極和南極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的阻抗有90°的相位差。
圖10、繪有常數(shù)|ρ|（|虛線）和常數(shù)反射相位（實(shí)線）的球形史密斯圓圖
圖形方式和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)
史密斯圓圖的擴(kuò)展涉及到將平面2-D的圓圖轉(zhuǎn)移到球面的3-D 圓圖上
史密斯圓圖的2-D 特征可以很容易地印在紙上或顯示在屏幕上。然而，對(duì)于3-D 史密斯圓圖來(lái)說(shuō)，就并非如此了。要顯示史密斯圓圖以及在圖上畫(huà)出曲線和輪廓便會(huì)有些實(shí)際上的困難。一個(gè)辦法是做出打印好的小球。這會(huì)類似于一個(gè)塑料的足球，只不過(guò)代替六角形圖案的是電阻和感抗曲線。圖8 便是這樣一個(gè)例子。在過(guò)去的許多年里，我將其放在書(shū)桌上作為設(shè)計(jì)或直觀化的工具（我以前的一個(gè)同事為小球起名為Zelley 球，每次到我辦公室時(shí)都會(huì)向我仍這個(gè)球，并以此為樂(lè)）。也許，在每個(gè)本科微波授課的教室前的講臺(tái)上應(yīng)當(dāng)放一個(gè)這樣的球，類似于地理課上的地球儀。很明顯，在球上畫(huà)出仿真結(jié)果和輪廓會(huì)很費(fèi)事。同樣，手工在圖上劃線無(wú)法與常規(guī)計(jì)算機(jī)自動(dòng)設(shè)計(jì)流程一體化。
另一種方法是使用3-D 計(jì)算機(jī)軟件。這樣可以使得設(shè)計(jì)者能夠通過(guò)使用計(jì)算機(jī)鼠標(biāo)或鍵盤(pán)來(lái)旋轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)動(dòng)球形史密斯圓圖。有可能讓設(shè)計(jì)者選擇顯示阻抗，導(dǎo)納（或混合形式）的史密斯圓圖，將Q 或反射系數(shù)疊加在球的表面。球體是不透明的或半透明的?；蛟S可以做多個(gè)球表面的2-D 投影，這可以成為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的一個(gè)值得一試的折衷方案。
結(jié)論
本文重點(diǎn)討論了傳統(tǒng)2-D 史密斯圓圖的局限性。提出了一種克服這些局限的擴(kuò)展史密斯圓圖的想法。這種擴(kuò)展包括從2-D 阻抗平面轉(zhuǎn)換到三維，并將其映射到球體的表面。相信這是首次提出的史密斯圓圖的轉(zhuǎn)換方法。
然后考慮了球形史密斯圓圖的多種表示方法。包括使用常量電阻，電感，阻抗和反射系數(shù)曲線。最后，討論了如何用圖形方法來(lái)顯示3-D 史密斯圓圖。
需要指出的是，本文這里所討論的許多觀點(diǎn)還沒(méi)有進(jìn)行嚴(yán)密的數(shù)學(xué)運(yùn)算，所以有可能在球形的史密斯圓圖上出現(xiàn)一些不連續(xù)的地方。然而，基本的概念和想法是作者經(jīng)過(guò)了充分思考的，是完全能夠發(fā)表出來(lái)的。
希望本文所討論的3-D 史密斯圓圖可以在射頻和微波設(shè)計(jì)界或者用作設(shè)計(jì)工具，或者用于直觀化的幫助。希望本文至少提出了一個(gè)有趣的可供討論的課題。
致謝
作者Chris Zelley在此深深感謝Steve Cripps 和Gord Rabjohn 的幫助和建議，以及他們對(duì)作者構(gòu)思這篇文章所做的鼓勵(lì)。
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